Strona Główna Szukaj Forum Linki Kontakt


Ludolfina kobieta czy liczba?


Na tak postawione pytanie bez wahania należy odpowiedzieć, że liczba chociaż tak jak kobieta od początków ludzkości fascynowała wielu ludzi.

Czym więc jest Ludolfina?

Ludolfina to nic innego jak znana już z podstawówki stała π, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi obwodu koła do jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejsza dodatnia wartość x, dla której sin(x)=0.


Najbardziej znane nazwy tej liczby to:

  • stała Archimedesa nazwana tak na cześć Archimedesa, który w swojej pracy Pomiar koła podał dość dokładne oszacowanie liczby π.

  • Ludolfina nazwana na cześć Ludolpha van Celuena, który w 1596 roku używając metody Archimedesa podał przybliżenie liczby π do 35 cyfr po przecinku.

  • π, którą wprowadził w 1706 roku Wiliam Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa Peryferia) a rozpowszechnił ją później Leonhart Euler.

Gdzie występuje Ludolfina?

Liczba π występuje we wzorach matematycznych, fizycznych, chemicznych. Znają ją dobrze zarówno inżynierowie jak i ekonomiści. Przypomnijmy kilka z nich:

  • Walec  -   pole powierzchni bocznej Sb, pole powierzchni całkowitej S, objętość V.

walec
  • Kula   -   pole powierzchni Sb, objętość V.

kula
  • Prąd   -   napięcie Ui natężenie I prądu zmiennego sinusoidalnie.

U = U0· sin (2 · π f · t)
I = I0· sin (2 · π · f · t + φ)

  • Prędkość kątowa ciała   -   w zależności od obrotów n.

wzór


Trochę historii

Już ok. r. 2000 p.n.e. Babilończycy zauważyli, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Przyjmowali, że jest on równy 3⅛ ≈ 3,125

Starożytni Egipcjanie przyjmowali wartość 256/81 ≈ 3,1604 (zachował się antyczny dokument z taką właśnie wartością), a współcześni im Chińczycy przyjmowali dokładnie 3.

W III w. p.n.e. Archimedes bazując na zależnościach geometrycznych wyliczył π z dokładnością dwóch miejsc po przecinku (223/71<π<22/7 czyli 3,1408<π<3,1428).

W II w. p. n. e. Ptolomeusz oszacował liczbę π na 3,14159.

Zu Chongzhi chiński matematyk używając metody Archimedesa podał około 500 r. n.e. podał, że π wynosi 355/113. Prowadząc swoje badania prawdopodobnie nie miał dostępu do prac Archimedesa.

W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii użył ciągów nieskończonych by obliczyć wartość π. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz lub Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w 1674.

John Wallis w 1656 roku po raz pierwszy do obliczenia przybliżenia liczby π użył ciągów nieskończonych (rozwinięć w szeregi potęgowe funkcji arcus sinus lub arcus tangens).

W roku 1700, Lambert z Legendre'm pokazali, że π jest niewymierna - nie jest więc ilorazem jakichkolwiek dwu liczb całkowitych, zaś w sekwencji kolejnych cyfr jej rozwinięcia nie ma żadnych, ale to żadnych, prawidłowości.

W r. 1882 Lindemann wykazał, że π jest tzw. liczbą przestępną.

Dalsze lata to coraz dokładniejsze przybliżenia Ludolfiny. I tak:

  • w 1853 roku Rutherford uzyskał przybliżenie do 440 miejsc po przecinku,

  • w 1874 roku Shanks uzyskał przybliżenie do 527 miejsc po przecinku,

  • w 1946 roku Ferguson uzyskał przybliżenie do 620 miejsc po przecinku,

  • w 1949 roku komputer ENIAC obliczył przybliżenie do 2037 miejsc po przecinku,

  • współczesne komputery wyliczyły π z dokładnością ok. tryliona znanych cyfr po przecinku i nie jest to ich ostatnie słowo.

Wzory do obliczenia Ludolfiny

Istnieją ich setki. Jedne mniej inne bardziej dokładne. Na przykład wzór Leibniza:




Kolejne przybliżenia tego wzoru ilustruje wykres:


Lub piękny wzór Newtona (opublikowany w 1666roku) wyprowadzony z konstrukcji geometrycznej.


Czy szybko zbieżny wzór F Bellarda:


wzor_bellarda

Aż po zupełnie egzotyczny wzór:



gdzie:



Więcej wzorów znajdziesz tutaj.



Ludolfina i poeci

Ludolfina weszła do języka potocznego. Występuje w wierszach i przypowieściach (np. „ pi razy oko”). Modne było kiedyś układanie wierszyków, w których liczba liter kolejnych słów odpowiadała kolejnym cyfrom liczby π.

Oto kilka przykładów:

Wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego (pisownia dawna)

Kuć i orać
w dzień zawzięcie,
bo plonów
niema bez trudu.
Złocisty szczęścia okręcie
kołyszesz....
Kuć.
My nie czekajmy cudu.
Robota.
To potęga ludu.


Inwokacja Witolda Rybczyńskiego do Mnemozyny, bogini pamięci, ogłoszona w „Problemach” (nr 8/1949). Trzeba dodać, że zamiast słowa „zadania” należy wstawić „problemu”, a myślnik oznacza cyfrę zero.


Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie ludolfiną,
pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć,
gdy się zadania nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami.


Inny wiersz Clemensa Brentana brzmi w orginale:


Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft
machtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit
getreu zu merken. Drum hab. ich Ludolph mir zu Lettern umgepragt.


Co oznacza w przekładzie Witolda Rabczyńskiego:


Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po
wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu
cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie Ludolfinę w słowach.


Albo taka trawestacja wiersza rosyjskiego:


Kto z woli i myśli zapragnie
Pi spisać cyfry, ten zdoła ...


Podczas zmagań naszych piłkarzy na Mundialu w Argentynie ułożono taki wierszyk:


Już i Lato i Deyna
strzelili do bramki obcej
dwa karne
Lubański dostrzegł mistrza Szarmacha
gdy on tak wypuścił cios szacha
że zdobyć musi cel gry
krzyknął Gol na Mundial Argentyna


Inaczej do problemu podeszła Wisława Szymborska. Oto jej „sposób” na zapamiętanie Ludolfiny (kolejne cyfry zapisane są kursywą):


Liczba Pi

Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe,
pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem
osiem dziewięć obliczeniem
siedem dziewięć wyobraźnią,
a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem
cztery sześć do czegokolwiek
dwa sześć cztery trzy na świecie.
Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa
podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr składających się na liczbę Pi
nie zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
przez całą nieba wzdętość i bezdenność.
O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!
A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście
mój numer telefonu twój numer koszuli
rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste
piętro
ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy
obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,
w którym słowiczku mój a leć, a piej
oraz uprasza się zachować spokój,
a także ziemia i niebo przeminą,
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,
nie byle jakie osiem,
nieostatnie siedem,
przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność
do trwania.


Istnieją również żarty na temat tej liczby:


Dlaczego pociąg jak jedzie to stuka?
Elementem poruszającym się po torze jest koło.
A obręcz koła to nic innego jak okrąg.
Należy przeanalizować wzór na obwód okręgu:
O=2π. 2 = to stała, r określony promień, a π= 3 z...hakiem.
I ten hak stuka!

Przybliżona wartość Ludolfiny (do 900 liczb po przecinku)

π = 3, 1415926535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 2712019091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 ..........



początek strony     |    strona główna


Stronę wykonano za pomocą wolnego oprogramowania zawartego w pakiecie LINUX Mandriva 2005